Matematika

I. Fanning mazmuni

Fanni o‘qitishdan maqsad — talabalarga algebraik tushunchalarni ilmiy asosda kiritish va o‘rgatish hamda ularning ko‘plab tatbiqlarini ochib berish orqali tabiat va jamiyat rivojidagi o‘zgarishlarni to‘g‘ri tahlil qilishga asos solish, talabalarni ularga avvaldan tanish bo‘lgan matematik nazariyalar, ayniqsa, chiziqli algebra, asosiy algebraik strukturalar, sonlar nazariyasi hamda ko‘phadlar nazariyasi haqida ma’lumotlar berish, egallagan nazariy bilimlari asosida ularning mantiqiy va matematik tafakkurini rivojlantirish, yozma va og‘zaki mantiqiy nutqini shakllantirishdir.

Fanning vazifasi — umumiy o‘rta, o‘rta maxsus, kasb - hunar ta’limi matematika fani asosiy tushunchalarini ilmiy, nazariy chuqurlashtirish bilan birga uzviy ravishda kengaytirish, algebra va sonlar nazariyasining talabalar dunyo qarashini shakllantirishdagi jamiyatni va borliqni o‘rganishdagi o‘rnini ochib berish, talabalarga algebra va sonlar nazariyasi kursining nazariy asoslarini o‘rgatish, ularda algebra va sonlar nazariyasi kursini o‘zlashtirishlari uchun zarur ko‘nikma va malakalarni shakllantirish, talabalarni algebra va sonlar nazariyasi kursi bilan tanishtirish, ularni o‘quv qo‘llanmalari va boshqa ilmiy adabiyotlar bilan mustaqil ishlashga o‘rgatishdan iborat.

II. Asosiy nazariy qism (maʼruza mashgʻulotlari)

Fan tarkibiga quyidagi mavzular kiradi:

1-mavzu: To‘plamlar va ular ustida amallar.

To‘plam, to‘plam elementi. To‘plamlarning tengligi. Qism to‘plam. Bo‘sh to‘plam. Universal to‘plam. To‘plamlar ustida amallar va ularning  asosiy xossalari. To‘plamning to‘ldiruvchisi.

2-mavzu: Binar munosabatlar. Ekvivalentlik munosabati.

Binar munosabatlar. Binar munosabatlarni aniqlash va qiymatlar sohalari. Binar munosabat inversiyasi.

3-mavzu: Akslantirishlar.

Akslantirish. Akslantirishlar turlari (inyektiv, suryektiv, biyektiv akslantirishlar). Akslantirishlar kompozitsiyasi. Teskari akslantirish.

4-mavzu. Kichik tartibli determinantlar.

Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar va ularni hisoblash usullari.

5-mavzu: O‘rin almashtirishlar va o‘rniga qo‘yishlar.

O‘rin almashtirish va o’rniga qo’yishlarning xossalari. Toq va juft o‘rin almashtirishlar. O’rniga qo’yishlarni ko’paytirish.

6-mavzu. Matritsalar va ular ustida amallar.

Matritsalarning turlari. Matritsalarni qo‘shish, matritsani songa ko‘paytirish, matritsalarni ko‘paytirish amallari va ularning xossalari. Matritsani transponirlash.

7-mavzu. n-tartibli determinantlar va ularning xossalari.

n-tartibli determinantlar va ularning xossalari.

8-mavzu. Minorlar va algebraik to‘ldiruvchilar.

Determinantning p-tartibli minori. Determinantning ixtiyoriy elementining algebraik to‘ldiruvchisi.

9-mavzu: Laplas teoremasi.

Matritsa determinantini satr yoki ustun elementlari bo‘yicha yoyish. Laplas teoremasi.

10-mavzu: Teskari matritsa. Determinantning qo’shimcha xossalari.

Teskari matritsa. Matritsaning teskarilanish shartlari. Teskari matritsani hisoblash. Determinantning qo’shimcha xossalari.

11-mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemalari va ularni yechishning Gaus usuli.

Chiziqli tenglamalar sistemalari. Chiziqli tenglamalar sistemasining ekvivalentligi. Gauss usuli.

12-mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.

13-mavzu. n-o‘lchamli vektor fazo. Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar.

Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar xossalari.

14-mavzu. Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar haqida teoremalar.

Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar haqida teoremalar. Vektorlar sistemasining bazisi va rangi.

15-mavzu.

Matritsaning rangi. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi. Kroneker-Kapelli teoremasi.

16-mavzu. Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Fundamental yechim.

Bir jinsli sistemalar va ularni yechish usullari. Yechimlarning fundamental sistemalari.

17-mavzu. Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Kompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometrik shakli.

Kompleks sonlar ustida amallar va ularning xossalari. O‘zaro qo‘shma kompleks sonlar va ularning xossalari. Kompleks sonning moduli va uning xossalari.

18-mavzu: Muavr formulasi, kompleks sondan ildiz chiqarish. Birning ildizlari.

Muavr formulalari. Birning p- darajali ildizlari. Ixtiyoriy kompleks sonning p- darajali ildizlari.

19-mavzu. Bir nomalumli ko‘phadlar. Gorner sxemasi. Bezu teoremasi.

Ko‘phadlar va ular ustida amallar. Gorner sxemasi. Bezu teoremasi.

20-mavzu. Qoldiqli bo‘lish. Ko‘phadlarni EKUBi.

Ko’phadlarni qoldiqli bo’lish. Eng katta umumiy bo‘luvchi. Yevklid algoritmi. Keltirilmas ko‘pxadlar.

21-mavzu. Ratsional kasrlar va ularni eng sodda kasrlarga yoyish.

Ratsional kasrlar va ularni eng sodda kasrlarga yoyish.

22-mavzu. Uchinchi va to‘rtinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish.

Kardano formulasi va Ferrari usuli.

23-mavzu. Ildiz chegaralari. Shturm teoremasi.

Ildiz chegaralari. Shturm teoremalari.

24-mavzu. Chiziqli fazolar.

Chiziqli fazolar. Chiziqli fazoning o’lchami va bazisi.

25-mavzu. Chiziqli qism fazo. Qism fazolar yig‘indisi va kesishmasi.

Chiziqli qism fazo. Qism fazolar to‘g‘ri yig‘indisi. Qism fazolar yig‘indisi va kesishmasi.

26-mavzu. Yevklid fazosi.

Yevklid fazosi. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Ortogonal va ortonormal sistemalar.

27-mavzu. Chiziqli va Yevklid fazolarining izomorfizmi.

Ortogonallashtirish jarayoni. Chiziqli va Yevklid fazolarining izomorfizmi.

28-mavzu. Ortogonal to‘ldiruvchi.

Ortogonal to‘ldiruvchi va ortogonal proeksiya.

29-mavzu. Chiziqli, bichiziqli va kvadratik formalar.

Chiziqli, bichiziqli va kvadratik formalar. Bazis o‘zgarganda bichiziqli forma matritsasining o‘zgarishi.

30-mavzu. Kvadratik forma.

Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish usullari.

31-mavzu. Inersiya qonuni.

Musbat aniqlangan kvadratik formalar. Inersiya qonuni.

32-mavzu. Kompleks vektor fazolarida skalyar ko‘paytma.

Kompleks Yevklid fazolari. Kompleks fazodagi bichiziqli formalar.

33-mavzu.

Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsasi. Chiziqli almashtirishlar ustida amallar.

34-mavzu. Teskari almashtirish.

Teskari almashtirish. Chiziqli almashtirishlar obrazi va yadrosi. Turli bazislarda chiziqli almashtirish matritsalari orasidagi bog‘lanish.

35-mavzu. Invariant qism fazolar.

Invariant qism fazolar. Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari.

36-mavzu. Qo‘shma almashtirish.

Berilgan almashtirishga qo‘shma almashtirish.

37-mavzu. O‘z-o‘ziga qo‘shma  va unitar almashtirishlar.

O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar va ularning kanonik shakli. Unitar almashtirishlar, ularning xos sonlari va kanonik ko‘rinishi.

38-mavzu. O‘zaro o‘rin almashinuvchi va normal almashtirishlar.

O‘zaro o‘rin almashinuvchi almashtirishlar. Normal almashtirishlar va ularning kanonik ko‘rinishi.

39-mavzu. Chiziqli almashtirish matritsasining Jordan normal shakli.

Chiziqli almashtirish matritsasining Jordan normal shakli.

40-mavzu. Chiziqli almashtirish matritsasining Jordan normal shakliga keltirish.

Chiziqli almashtirish matritsasining Jordan normal formasiga keltirish.

41-Mavzu: Bo‘linish belgilari. Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi.

Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi. Qoldiqli bo‘lish.

42-mavzu: Uzluksiz va munosib kasrlar, xossalari.

Ratsional sonlarni chekli zanjir kasr ko‘rinishida ifodalash. Munosib kasrlar va ularning asosiy xossalari.

43-mavzu: Taqqoslamalar va ularning xossalari.

Taqqoslama va uning xossalari. Modul bo‘yicha chegirmalar sinflari. Chegirmalarning to‘la sistemasi va uning xossalari. Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari.

44-mavzu: Mul’tiplikativ funksiyalar. Eyler va Ferma teoremalari. Mul’tiplikativ funksiyalar. Eyler funksiyasi. Eyler funksiyasining mul’tiplikativligi. Eyler funksiyasini hisoblash formulasi. Eyler teoremasi. Ferma teoremasi.

45-mavzu: Birinchi darajali taqqoslamalar. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi.

Birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarning yechimlari soni haqidagi teorema. Birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni yechish usullari. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi.

46-mavzu. Yarim gruppalar. Monoidlar. Gruppalar.

Binar amallar. Yarim gruppalar. Monoidlar. Gruppalar. Abel gruppa.

47-mavzu. Simmetrik va ishora almashinuvchi gruppalar.

Simmetrik va ishora almashinuvchi gruppalar

48-mavzu . Qism gruppalar. Siklik gruppalar.

Qism gruppalar. Tashkil etuvchi element. Siklik gruppalar.

49-mavzu. O‘ng va chap qo‘shni sinflar. Lagranj teoremasi.

O‘ng va chap qo‘shni sinflar va ularning xossalari. Chekli gruppa va indeks tushunchalari. Lagranj teoremasi.

50-mavzu. Normal qism gruppalar va faktor gruppalar.

Normal qism gruppa va uning xossalari. Qo‘shni sinflar orasidagi munosabatlar. Faktor gruppalar.

51-mavzu. Gruppaning gomomorfizmlari va izomorfizmlari.

Gruppaning gomomorfizmlari. Gomomorfizm yadrosi. Epimorfizm, monomorfizm va izomorfizmlar haqida asosiy tushunchalar.

52-mavzu. Gomomorfizm va izomorfizmlarning xossalari. Keli teoremasi.

Gomomorfizm va izomorfizmlarning xossalari. Keli teoremasi.

53-mavzu. Diedr va kvaternion gruppalari.

Diedr va kvaternion gruppalar xossalari.

54-mavzu. Gruppalar gomomorfizmlari haqidagi teoremalar.

Gomomorfizmning asosiy teoremasi. Izomorfizmlar haqida birinchi, ikkinchi va uchinchi teoremalar.

55-mavzu. Gruppaning avtomorfizmlari va ichki avtomorfizmlar

Gruppaning avtomorfizmlari va ular o‘rtasida aniqlangan gruppa. Ichki avtomorfizmlar va ularning xossalari.

56-mavzu. Gruppaning to‘plamga ta’siri.

Gruppaning to‘plamdagi ta’siri. Orbita. Statsionar qism gruppalar. Orbita uzunligining statsionar gruppa indeksi bilan ustma-ust tushishi.

57-mavzu. Halqalar va ularning turlari.

Halqalar va ularning turlari, butunlik sohasi. Halqaning nilpotent va idempotent elementlari.

58-mavzu. Halqalar xarakteristikasi. Bul va regulyar halqalar.

Halqa xarakteristikasi. Bul va regulyar halqalar xossalari.

59-mavzu.  Qism halqalar.

Qism halqalar va ularga oid teoremalar.

60-mavzu. Halqaning ideallari. Faktor halqalar. Bosh ideallar halqasi.

Halqaning o‘ng, chap va ikki tomonlama ideallari. Faktor halqalar.

61-mavzu. Halqaning gomomorfizmlari va izomorfizmlari

Halqaning gomomorfizmlari va ularning xossalari. Halqalar gomomorfizmlari haqidagi teoremalar.

62-mavzu. Nilpotent va birlamchi ideallar.

Nilpotent va birlamchi ideallar. Halqaning tub va keltirilmas elementlari.

63-mavzu. Maksimal va primar ideallar.

Maksimal va primar ideallar. Halqa radikali.

64-mavzu. Jismlar va maydonlar.

Jism va maydon ta’riflari va ularga misollar.

65-mavzu. Maydon xarakteristikasi.

Maydon xarakteristikasi. Chekli xarakteristikali maydonlar.

66-mavzu. Maydon kengaytmalari.

Maydon kengaytmalari. Maydonning separabel va normal kengaytmalari.

67-mavzu. Chekli maydonlar.

Chekli maydonlar va ularga misollar.

III. Amaliy mashgʻulotlar boʻyicha koʻrsatma va tavsiyalar.

Amaliy mashgʻulotlar uchun quyidagi mavzular tavsiya etiladi:

1-mavzu. To‘plamlar va ular ustida amallar.

2-mavzu. Binar munosabatlar. Ekvivalentlik munosabati.

3-mavzu. Akslantirishlar.

4-mavzu. Kichik tartibli determinantlar. O‘rin almashtirishlar va o‘rniga qo‘yishlar.

5-mavzu. Matritsalar va ular ustida amallar.

6-mavzu. n-tartibli determinantlar va ularning xossalari. Minorlar va algebraik to‘ldiruvchilar.

7-mavzu. Laplas teoremasi. Teskari matritsa. Determinantning qo’shimcha xossalari.

8-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemalari va ularni yechishning Gaus usuli. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.

9-mavzu: n-o‘lchamli vektor fazo. Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar. Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar haqida teoremalar.

10-mavzu: Matritsa rangi. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi. Kroneker-Kapelli teoremasi. Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Fundamental yechim.

11-mavzu: Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Kompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometrik shakli.

12-mavzu: Muavr formulasi, kompleks sondan ildiz chiqarish. Birning ildizlari.

13-mavzu. Bir nomalumli ko‘phadlar. Gorner sxemasi. Bezu teoremasi. Qoldiqli bo‘lish. Ko‘phadlarni EKUBi.

14-mavzu. Ratsional kasrlar va ularni eng sodda kasrlarga yoyish.

15-mavzu.

16-mavzu. Chiziqli fazolar. Chiziqli qism fazo. Qism fazolar yig‘indisi va kesishmasi.

17-mavzu. Yevklid fazosi. Chiziqli va Yevklid fazolarining izomorfizmi.

18-mavzu. Ortogonal to‘ldiruvchi.

19-mavzu. Chiziqli, bichiziqli va kvadratik formalar. Kvadratik forma.

20-mavzu. Inersiya qonuni.

21-mavzu. Kompleks vektor fazolarida skalyar ko‘paytma. Chiziqli almashtirishlar.

22-mavzu. Teskari almashtirish.

23-mavzu. Invariant qism fazolar.

24-mavzu. Qo‘shma almashtirish. O‘z-o‘ziga qo‘shma  va unitar almashtirishlar.

25-mavzu. O‘zaro o‘rin almashinuvchi va normal almashtirishlar.

26-mavzu. Chiziqli almashtirish matritsasining Jordan normal shakli.

27-mavzu. Chiziqli almashtirish matritsasining Jordan normal shakliga keltirish.

28-mavzu: Bo‘linish belgilari. Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi. Uzluksiz va munosib kasrlar, xossalari.

29-mavzu: Taqqoslamalar va ularning xossalari.

30-mavzu: Mul’tiplikativ funksiyalar. Eyler va Ferma teoremalari. Birinchi darajali taqqoslamalar. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi.

31-mavzu. Yarim gruppalar. Monoidlar. Gruppalar.

32-mavzu. Simmetrik va ishora almashinuvchi gruppalar.

33-mavzu . Qism gruppalar. Siklik gruppalar.

34-mavzu. O‘ng va chap qo‘shni sinflar. Lagranj teoremasi. Normal qism gruppalar va faktor gruppalar.

35-mavzu. Gruppaning gomomorfizmlari va izomorfizmlari.

36-mavzu. Gomomorfizm va izomorfizmlarning xossalari. Keli teoremasi.

37-mavzu. Diedr va kvaternion gruppalari. Gruppalar gomomorfizmlari haqidagi teoremalar.

36-mavzu. Gruppaning avtomorfizmlari va ichki avtomorfizmlar

39-mavzu. Gruppaning to‘plamga ta’siri.

40-mavzu. Halqalar va ularning turlari. Halqalar xarakteristikasi. Bul va regulyar halqalar.

41-mavzu.  Qism halqalar. Halqaning ideallari. Faktor halqalar. Bosh ideallar halqasi.

45-mavzu. Halqaning gomomorfizmlari va izomorfizmlari

43-mavzu. Nilpotent va birlamchi ideallar. Maksimal va primar ideallar.

44-mavzu. Jismlar va maydonlar. Maydon xarakteristikasi.

45-mavzu. Maydon kengaytmalari. Chekli maydonlar.

IV. Mustaqil taʼlim va mustaqil ishlar

Mustaqil ishni tayyorlashda “Algebra va sonlar nazariyasi” fanining xususiyatlarini hisobga olgan holda talabaga quyidagi shakllardan foydalanish tavsiya etiladi:

• Amaliy mashg`ulotlarga tayyorgarlik;
• Darslik va o`quv qo`llanmalar bo`yicha fan boblari va mavzularini o`rganish;
• Tarqatma materiallardan foydalangan holda fanning ma’ruzalar qismini o`zlashtirish;
• Maxsus adabiyotlardan foydalangan holda fan bo`limlari yoki mavzulari ustida ishlash;
• Fanning talaba tomonidan o`quv-ilmiy-tadqiqot ishlarini bajarilishi bilan bog`liq bo`lgan bo`limlarini va mavzularini chuqur o`rganish;
• Masofaviy ta’limdan foydalanish va hokozo.

Mustaqil talim talabalarga oldindan berib qo`yilgan mavzular bo`yicha referat, diagrammalar chizish va tahlil qilish, jadvallar to`ldirish, qo`shimcha ma’lumotlar to`plash orqali amalga oshiriladi.

Mustaqil taʼlim uchun tavsiya etiladigan mavzular:

Mustaqil ishlarning tavsiya etiladigan mavzulari:

1. Determinantlar nazariyasini aksiomatik qurish.
2. Algebraning asosiy teoremasi.
3. Uchinchi va to‘rtinchi tartibli tenglamalar.
4. Shturm teoremasi va uning tatbiqlari.
5. Ratsional koeffitsentli ko‘phadlar.
6. Asosiy teoremadan kelib chiqadigan natijalar
7. Kompleks sonlar nazariyasing ba`zi tatbiqlari
8. Ko`phadni karrali ko`paytuvchilarga ajratish
9. Ko`phad ildizining chegaralari
10. Fundamental yechim.
11. Algebraik sonlar maydoni.
12. Ortogonal to‘ldiruvchi va uning hossalari. Ortogonal to‘ldiruvchi fazoda bazis topish usullari.
13. Ortogonal tashkil etuvchi va ortogonal proeksiyalarni hisoblash.
14. Qo‘shma va o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishlar. Ularning matritsalari.
15. Simmetrik chiziqli almashtirishlarning xarakteristik ildizlarini topish.
16. O‘ng va chap qo‘shmalik sinflari, Lagranj teoremasi.
17. Normal bo‘luvchilar. Faktor gruppalar.
18. Gruppaning gomomorfizmlari va izomorfizmlari.
19. Gomomorfizm va izomorfizmlarning xossalari. Keli teoremasi.
20. Gruppaning to‘plamdagi ta’siri.
21. Orbita. Statsionar qism gruppalar.
22. Orbita uzunligining statsionar gruppa indeksi bilan ustma-ust tushishi.
23. Halqa tushunchasi. Halqa turlari. Qism-halqa. Faktor halqalar.
24. Ideal turlari. Nyoter va Artin halqalari.
25. Maydon kengaytmasi.
26. Galua maydoni. Chekli va algebraik kengaytmalar.
27. Kengaytmaning darajasi.
28.   gruppalarning yasovchilari.
29. Q ning lokal  siklik gruppaligi.
30.  Algebralarning gomomorfizmlari.

Izoh: Mustaqil ta’lim soatlari hajmlaridan kelib chiqqan holda ishchi dasturda mazkur mavzular ichidan mustaqil ta’lim mavzulari shakllantiriladi.

    Mustaqil o‘zlashtiriladigan mavzular bo‘yicha talabalar tomonidan referatlar tayyorlash va uni taqdimot qilish tavsiya etiladi.

V. Fan oʻqitilishining natijalari (shakllanadigan kompetensiyalar)

Fanni o‘zlashtirish natijasida talaba:

• algebra va sonlar nazariyasi fanining asosiy tushunchalari va asoslari, fanning taraqqiyot an’analarini, matematik fanlar orasida tutgan o‘rni haqida tasavvur va bilimga ega bo‘lishi;
• algebra va sonlar nazariyasi fanining asosiy tushunchalari va asoslarining o‘ziga xos xususiyatlarini, fanning fundamental masalalarini, matematik fanlar orasida tutgan o‘rniga doir misol va masalalarni bilishi va ulardan foydalanish ko‘nikmalariga ega bo‘lishi;
• talaba algebra va sonlar nazariyasining masalalarni tahlil qilish sullarini qo‘llash, bu masalalarni yechishda yuzaga keladigan muammolarni hal qilish malakasiga ega bo‘lishi kerak.

VI. Taʼlim texnologiyalari va metodlari:

• Maʻruzalar;
• Interfaol keys-stadilar;
• Taqdimotlar;
• Guruhlarda ishlash;
• Jamoa bilan ishlash va himoya qilish;

VII. Kreditni olish uchun talablar:

Fanga oid nazariy va uslubiy tushunchalarni toʻliq oʻzlashtirish, tahlil natijalarini toʻgʻri aks ettira olish, oʻrganilayotgan jarayonlar haqida mustaqil mushohada yuritish va joriy, oraliq nazorat shakllarida berilgan vazifa topshiriqlarni bajarish, yakuniy nazorat ishini topshirish.

Asosiy adabiyotlar

1. D.S.Malik, John N.Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of Abstract Algebra, 1997, P. 636.

2. Ж.Хожиев, А.С.Файнлейб, Алгебра ва сонлар назарияси курси. Т.: "Узбекистoн", 2001.  304 б.

3. Sh.A.Ayupov, B.A.Omirov, Algebra va sonlar nazariyasi; T.: «Tafakkur-bo‘stoni» nashriyoti, 2019-yil.

4. Р.Н.Назаров, Б.Т.Тошпўлатов, А.Д.Дусумбетов. Алгебра ва сонлар назарияси T., Ўқитувчи. 1- қисм, 1993й.320 б.

5. Юнусов A., Юнусова Д. Сонли системалар. T., Mолия-иктисодиёт, 2008. 116 б. (ўқув қўлланма).

Qo’shimcha adabiyotlar

1. Р.Н.Назаров, Б.Т.Тошпўлатов, А.Д.Дусумбетов. Алгебра ва сонлар назарияси T., Ўқитувчи. 2- қисм, 1995й.

2. Yunusova D., Yunusov A. Algebra va sonlar nazariyasi. Modul texnologiyasi asosida tuzilgan musol va mashqlar to‘plami. O‘quv qo‘llanma. T., "Ilm Ziyo", 2009.

3. Yunusov A., Yunusova D. Algebra va sonlar nazariyasidan modul texnologiyasi asosida tuzilgan nazorat topshiriqlari to‘plami. TDPU, 2004.

Internet manbaalari

1. www.tdpu.uz

2. www.pedagog.uz

3. www.edu.uz

4. www.nadlib.uz  (A.Navoiy nomidagi  O’zMK)